运动康复师证发证机构主要由以下几个部门负责：

1、国家卫生健康委员会：作为中国政府部门，国家卫生健康委员会负责制定和发布运动康复师的职业标准、培训大纲和考试内容，该部门还会对运动康复师的培训和考试进行监督和管理，确保运动康复师的专业素质和技能水平。

2、中国体育科学学会：作为全国性的学术组织，中国体育科学学会负责运动康复师的专业发展和学术交流，该学会会定期组织运动康复师的培训班和研讨会，提高运动康复师的专业水平，中国体育科学学会还会对运动康复师的职业资格进行认证，发放相应的证书。

3、各省、市、自治区卫生健康委员会：在国家卫生健康委员会的指导下，各省、市、自治区卫生健康委员会负责本地区的运动康复师培训和考试工作，各地卫生健康委员会会根据国家卫生健康委员会的统一要求，制定本地的运动康复师培训计划和考试安排，确保运动康复师的培训和考试工作顺利进行。

4、体育院校和职业培训机构：体育院校和职业培训机构是运动康复师培训的主要场所，这些机构会根据国家卫生健康委员会和中国体育科学学会的要求，制定运动康复师的培训课程和教学大纲，培养具有专业素质和技能的运动康复师。

5、企事业单位和社会组织：企事业单位和社会组织也可以开展运动康复师的培训工作，这些单位需要向国家卫生健康委员会和中国体育科学学会申请成为运动康复师培训资质的授权机构，然后按照相关规定开展培训工作。

6、国际运动康复组织：随着全球健身产业的发展，越来越多的国际运动康复组织进入中国市场，这些国际组织在推广运动康复理念和技术的同时，也会与中国的相关机构合作，共同开展运动康复师的培训和考试工作。

运动康复师证发证机构主要包括国家卫生健康委员会、中国体育科学学会、各省、市、自治区卫生健康委员会、体育院校和职业培训机构、企事业单位和社会组织以及国际运动康复组织等，这些机构共同推动运动康复事业的发展，为广大人民群众提供优质的运动康复服务。